| [math]e := \sum\limits_{k=0}^\infty \, \dfrac{1}{k!}[/math]
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Eulersche Zahl
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| [math]\text{i}[/math]
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Imaginäre Einheit
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| [math] \dfrac{d}{dt} e^{a t} = a \, e^{a t} [/math]
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Kettenregel
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| [math] e^0 = 1 [/math]
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Die Eulersche Formel (engl. Euler's Formula, nach Leonard Euler) zeigt einen Zusammenhang zwischen der komplexen Exponentialfunktion und den trigonometischen Funktionen:
- [math]
e^{\text{i}\varphi} = \cos(\varphi) + \text{i} \sin{\varphi} \quad \text{für} \quad \varphi \in \mathbb{R}
[/math]
Herleitung
Die Beziehung lässt sich durch die Taylor-Approximation der trigonometrischen Funktionen finden. Diese sind:
- [math]
\cos(t) \approx 1 - \dfrac{t^2}{2!} + \dfrac{t^4}{4!} - \dfrac{t^6}{6!} + \dfrac{t^8}{8!} \quad .... \\
\sin(t) \approx t - \dfrac{t^3}{3!} + \dfrac{t^5}{5!} - \dfrac{t^7}{7!} + \dfrac{t^9}{9!} \quad ....
[/math]
Folglich kann man die komplexe Funktion schreiben:
- [math]
\cos(t) + \text{i} \sin(t) \approx 1 + t - \dfrac{t^2}{2!} - \dfrac{t^3}{3!} + \dfrac{t^4}{4!} + \dfrac{t^5}{5!} - \dfrac{t^6}{6!}
- \dfrac{t^7}{7!} + \dfrac{t^8}{8!} + \dfrac{t^9}{9!} \quad ....
[/math]
Schließlich wird man feststellen, dass diese Approximation exakt der komplexen e-Funktion entspricht.
