Eulersche Formel

[math]e := \sum\limits_{k=0}^\infty \, \dfrac{1}{k!}[/math]	Eulersche Zahl
[math]\text{i}[/math]	Imaginäre Einheit
[math] \dfrac{d}{dt} e^{a t} = a \, e^{a t} [/math]	Kettenregel
[math] e^0 = 1 [/math]

Die Eulersche Formel (engl. Euler's Formula, nach Leonard Euler) zeigt einen Zusammenhang zwischen der komplexen Exponentialfunktion und den trigonometischen Funktionen:

[math] e^{\text{i}\varphi} = \cos(\varphi) + \text{i} \sin{\varphi} \quad \text{für} \quad \varphi \in \mathbb{R} [/math]

Herleitung

Die Beziehung lässt sich durch die Taylor-Approximation der trigonometrischen Funktionen finden. Diese sind:

[math] \cos(t) \approx 1 - \dfrac{t^2}{2!} + \dfrac{t^4}{4!} - \dfrac{t^6}{6!} + \dfrac{t^8}{8!} \quad .... \\ \sin(t) \approx t - \dfrac{t^3}{3!} + \dfrac{t^5}{5!} - \dfrac{t^7}{7!} + \dfrac{t^9}{9!} \quad .... [/math]

Folglich kann man die komplexe Funktion schreiben:

[math] \cos(t) + \text{i} \sin(t) \approx 1 + t - \dfrac{t^2}{2!} - \dfrac{t^3}{3!} + \dfrac{t^4}{4!} + \dfrac{t^5}{5!} - \dfrac{t^6}{6!} - \dfrac{t^7}{7!} + \dfrac{t^8}{8!} + \dfrac{t^9}{9!} \quad .... [/math]

Schließlich wird man feststellen, dass diese Approximation exakt der komplexen e-Funktion entspricht.