Quelltext der Seite Eulersche Formel

{| class="wikitable" style="float:right; margin-left: 10px;"
| <math>e := \sum\limits_{k=0}^\infty \, \dfrac{1}{k!}</math>
| [[Eulersche Zahl]]
|-
| <math>\text{i}</math>
| Imaginäre Einheit
|-
| <math> \dfrac{d}{dt} e^{a t} = a \, e^{a t} </math> 
| Kettenregel
|-
| <math> e^0 = 1 </math> 
|
|}


Die <u>Eulersche Formel</u> (engl. Euler's Formula, nach Leonard Euler) zeigt einen Zusammenhang zwischen der komplexen Exponentialfunktion und den trigonometischen Funktionen:
:<math>
 e^{\text{i}\varphi} = \cos(\varphi) + \text{i} \sin{\varphi}  \quad \text{für}  \quad \varphi \in \mathbb{R}
</math>



== Herleitung ==
Die Beziehung lässt sich durch die Taylor-Approximation der trigonometrischen Funktionen finden. Diese sind:
:<math>
\cos(t) \approx 1 - \dfrac{t^2}{2!} + \dfrac{t^4}{4!} - \dfrac{t^6}{6!} + \dfrac{t^8}{8!} \quad .... \\
\sin(t) \approx t - \dfrac{t^3}{3!} + \dfrac{t^5}{5!} - \dfrac{t^7}{7!} + \dfrac{t^9}{9!} \quad .... 
</math>
Folglich kann man die komplexe Funktion schreiben:
:<math>
\cos(t) + \text{i} \sin(t) \approx 1 + t  - \dfrac{t^2}{2!} - \dfrac{t^3}{3!}  + \dfrac{t^4}{4!}  + \dfrac{t^5}{5!} - \dfrac{t^6}{6!} 
 - \dfrac{t^7}{7!} + \dfrac{t^8}{8!} + \dfrac{t^9}{9!} \quad .... 
</math>
Schließlich wird man feststellen, dass diese Approximation exakt der komplexen e-Funktion entspricht.