Fourierreihe

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S. Burghardt (03.2018) MINTwiki.de/Fourierreihe

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Die Fourierreihe (engl. Fourier series, nach Joseph Fourier) ist eine Funktionenreihe aus Sinus- und Kosinusfunktionen, die man für periodische, abschnittsweise stetige Funktionen entwickeln kann. Praktisch kann man eine periodische Funktion als eine Reihe einer Grundschwingung und einem Spektrum von Oberschwingungen darstellen. Damit ist die Entwicklung der Fourierreihen die Basis für die Fouriertransformation, die Funktionen in den Frequenzbereich transformiert. Eine mathemathische Darstellung für eine periodische Funktion mit der Periode [math]T_0=2 \pi / \omega_0 [/math] gibt es mit:

[math] \boxed{ f(t)=\dfrac{a_{0}}{2}+\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(a_{k}\cos\left(k \omega_0 \, t\right)+b_{k}\sin\left(k \omega_0 \,t\right)\right) } [/math]

Darin sind [math]a_0[/math], [math]a_k[/math] und [math]b_k[/math] die Fourierkoeffizienten, die man durch Integration über eine Periode berechnen kann:

[math] a_{k} = \dfrac{2}{T_0} \int\limits_{0}^{T_0}f(t)\cdot\cos\left(k \omega_0 \,t\right) \, \mathrm{d}t \quad \text{für }k\geq0 [/math]
[math] b_{k} = \dfrac{2}{T_0} \int\limits_{0}^{T_0}f(t)\cdot\sin\left(k \omega_0 \,t\right) \, \mathrm{d}t \quad \text{für }k\geq1 [/math]

Sofern [math]f[/math] reellwertig ist, erhält man somit auch reellwertige Fourierkoeffizienten und mit [math]a_0/2[/math] erhält man dem Mittelwert als Gleichanteil. Die Summe aus Sinus- und Kosinusfunktion kann man auch als eine Kosinusfunktion mit Phasenverschiebung darstellen:

[math] a_k \cos{\left(k\omega_0 \,t\right)} +b_k \sin{\left(k \omega_0 \,t\right)} = A_k \cos{ \left(k \omega_0 \, t+\varphi_k\right) } [/math]

Dabei berechnen sich die Koeffizienten:

[math] A_k = \sqrt{a_k^2+b_k^2} \quad \text{und} \quad \varphi_k = \arcsin{\dfrac{b_k}{A_k}} [/math]

Fourierreihen für typische periodische Funktionen

Funktion Funktionsgleichung Fourierreihe
Rechtecksignal [math] f(t)= \left\{ \begin{align} h \quad & \text{für} & 0 & \le t \lt T_0/2 \\ -h \quad & \text{für} & T_0/2 & \le t \lt T_0 \\ \end{align} \right. [/math] [math] = \dfrac{4 h}{\pi} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \dfrac{\sin \left( \left(2k-1 \right) \omega_0 \, t \right) }{2 k -1} [/math]
Dreiecksignal [math] f(t)= \left\{ \begin{align} h \left(4 t/T_0 -1 \right) \quad & \text{für} & 0 & \le t \lt T_0/2 \\ h \left(3 - 4 t/T_0 \right) \quad & \text{für} & T_0/2 & \le t \lt T_0 \\ \end{align} \right. [/math] [math] = -\dfrac{8 h}{\pi} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \dfrac{\cos \left( \left(2k-1 \right) \omega_0 \, t \right) }{2 k -1} [/math]
Sägezahnsignal

Komplexe Fourierreihe und Frequenzspektrum

Eine weitere Darstellungsform ist die komplexe Fourierreihe:

[math] f(t)= \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} C_k \, e^{\mathrm{i} k \omega_0 \, t } [/math]

Die Koeffizienten:

[math] C_k=\dfrac{1}{T_0} \int\limits_{0}^{T_0} f (t) e^{\mathrm{i} k \omega_0 t} dt [/math]