Potenzgesetze: Unterschied zwischen den Versionen
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− | Eine Potenz ist das Ergebnis einer Rechenoperation zweier Zahlen, einer Basis (hier <math> | + | Eine Potenz ist das Ergebnis einer Rechenoperation zweier Zahlen, einer Basis (hier <math>b</math>) und eines Exponenten (hier <math>n</math>): |
− | :<math> a = b^ | + | :<math> a = b^n </math> |
Dabei beschreibt nun zunächst der Exponent, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird, z.B.: | Dabei beschreibt nun zunächst der Exponent, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird, z.B.: | ||
:<math> b^4 = b \cdot b \cdot b \cdot b </math> | :<math> b^4 = b \cdot b \cdot b \cdot b </math> | ||
Allein aus dieser Beschreibung lässt sich bereits das erste Potenzgesetz ableiten. Da der Exponent ein Zählindex für die Multiplikation der Basis mit sich selbst ist, muss jede weitere Multiplikation den Zählindex entsprechend erhöhen. Zudem impliziert eine Division dementsprechend die Subtraktion der Exponenten: | Allein aus dieser Beschreibung lässt sich bereits das erste Potenzgesetz ableiten. Da der Exponent ein Zählindex für die Multiplikation der Basis mit sich selbst ist, muss jede weitere Multiplikation den Zählindex entsprechend erhöhen. Zudem impliziert eine Division dementsprechend die Subtraktion der Exponenten: | ||
− | :<math> | + | :<math> \boxed{ b^x \cdot b^y = b^{x+y} \quad \text{und} \quad \dfrac{b^x}{b^y}=b^{x-y} }</math> |
Die nächste Beziehung, die sich auf die Multiplikation resp. Division unterschiedlicher Basen mit gleichem Exponenten bezieht, ist ebenfalls leicht zu erkennen: | Die nächste Beziehung, die sich auf die Multiplikation resp. Division unterschiedlicher Basen mit gleichem Exponenten bezieht, ist ebenfalls leicht zu erkennen: | ||
− | :<math> | + | :<math> \boxed{ b^x \cdot c^x = (b \cdot c)^x \quad \text{und} \quad \dfrac{b^x}{c^x} = \left( \dfrac{b}{c} \right)^x }</math> |
Potenziert man eine Potenz, so multiplizieren sich die Exponenten: | Potenziert man eine Potenz, so multiplizieren sich die Exponenten: | ||
− | :<math> | + | :<math> \boxed{ (b^x)^y=b^{x \cdot y}}</math> |
− | === | + | ===Rationale Exponenten=== |
− | Die vorangegangenen Beziehungen lassen sich für <math> | + | Die vorangegangenen Beziehungen lassen sich für <math>n \in \mathbb{N}</math> leicht an beliebigen Beispielen nachvollziehen. Die Definition soll nun auf gebrochene Exponenten erweitert werden. Für den Exponenten <math>\frac{1}{n}</math> findet sich die Beziehung: |
+ | :<math>a=b^{\frac{1}{n}} \quad \Leftrightarrow \quad a^n = b^{\frac{1}{n} n} = b \quad \Leftrightarrow \quad a = \sqrt[n]{b} = b^{\frac{1}{n}} </math> | ||
+ | Man zieht hier also die n-te Wurzel aus der Basis. Das ist im allgemeinen eine numerische Operation, die moderne Rechenmaschinen leicht lösen. Beliebige gebrochene Exponenten der Form <math>\frac{m}{n}</math> lassen sich dementsprechend schreiben: | ||
+ | :<math> b^{\frac{m}{n}} = \left(\sqrt[n]{b} \right)^m </math> | ||
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+ | ===Negative Exponenten === | ||
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+ | Ein Weg der logischen Herleitung des Sonderfalls <math>n = 0 </math> ist: | ||
+ | :<math>\lim\limits_{n\rightarrow \infty}{b^\frac{1}{n}} =\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{b} = 1 </math> | ||
+ | Darüber hinaus sind negative Exponenten wieder durch Erweitern zu eruieren: | ||
+ | :<math>a=b^{-n} \quad \Leftrightarrow \quad a \cdot b^n = b^{-n} \cdot b^n = b^0 = 1 \quad \Leftrightarrow \quad b^{-n} = \dfrac{1}{b^n} </math> |
Aktuelle Version vom 17. Februar 2021, 23:20 Uhr
S. Burghardt (02.2021) MINTwiki.de/Potenzgesetze
Eine Potenz ist das Ergebnis einer Rechenoperation zweier Zahlen, einer Basis (hier
) und eines Exponenten (hier ):Dabei beschreibt nun zunächst der Exponent, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird, z.B.:
Allein aus dieser Beschreibung lässt sich bereits das erste Potenzgesetz ableiten. Da der Exponent ein Zählindex für die Multiplikation der Basis mit sich selbst ist, muss jede weitere Multiplikation den Zählindex entsprechend erhöhen. Zudem impliziert eine Division dementsprechend die Subtraktion der Exponenten:
Die nächste Beziehung, die sich auf die Multiplikation resp. Division unterschiedlicher Basen mit gleichem Exponenten bezieht, ist ebenfalls leicht zu erkennen:
Potenziert man eine Potenz, so multiplizieren sich die Exponenten:
Rationale Exponenten
Die vorangegangenen Beziehungen lassen sich für
leicht an beliebigen Beispielen nachvollziehen. Die Definition soll nun auf gebrochene Exponenten erweitert werden. Für den Exponenten findet sich die Beziehung:Man zieht hier also die n-te Wurzel aus der Basis. Das ist im allgemeinen eine numerische Operation, die moderne Rechenmaschinen leicht lösen. Beliebige gebrochene Exponenten der Form
lassen sich dementsprechend schreiben:Negative Exponenten
Ein Weg der logischen Herleitung des Sonderfalls
ist:Darüber hinaus sind negative Exponenten wieder durch Erweitern zu eruieren: