Potenzgesetze

S. Burghardt (02.2021) MINTwiki.de/Potenzgesetze

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Eine Potenz ist das Ergebnis einer Rechenoperation zweier Zahlen, einer Basis (hier [math]b[/math]) und eines Exponenten (hier [math]n[/math]):

[math] a = b^n [/math]

Dabei beschreibt nun zunächst der Exponent, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird, z.B.:

[math] b^4 = b \cdot b \cdot b \cdot b [/math]

Allein aus dieser Beschreibung lässt sich bereits das erste Potenzgesetz ableiten. Da der Exponent ein Zählindex für die Multiplikation der Basis mit sich selbst ist, muss jede weitere Multiplikation den Zählindex entsprechend erhöhen. Zudem impliziert eine Division dementsprechend die Subtraktion der Exponenten:

[math] b^x \cdot b^y = b^{x+y} \quad \text{und} \quad \dfrac{b^x}{b^y}=b^{x-y}[/math]

Die nächste Beziehung, die sich auf die Multiplikation resp. Division unterschiedlicher Basen mit gleichem Exponenten bezieht, ist ebenfalls leicht zu erkennen:

[math] b^x \cdot c^x = (b \cdot c)^x \quad \text{und} \quad \dfrac{b^x}{c^x} = \left( \dfrac{b}{c} \right)^x [/math]

Potenziert man eine Potenz, so multiplizieren sich die Exponenten:

[math] (b^x)^y=b^{x \cdot y}[/math]

Rationale Exponenten

Die vorangegangenen Beziehungen lassen sich für [math]n \in \mathbb{N}[/math] leicht an beliebigen Beispielen nachvollziehen. Die Definition soll nun auf gebrochene Exponenten erweitert werden. Für den Exponenten [math]\frac{1}{n}[/math] findet sich die Beziehung:

[math]a=b^{\frac{1}{n}} \quad \Leftrightarrow \quad a^n = b^{\frac{1}{n} n} = b \quad \Leftrightarrow \quad a = \sqrt[n]{b} = b^{\frac{1}{n}} [/math]

Man zieht hier also die n-te Wurzel aus der Basis. Das ist im allgemeinen eine numerische Operation, die moderne Rechenmaschinen leicht lösen. Beliebige gebrochene Exponenten der Form [math]\frac{m}{n}[/math] lassen sich dementsprechend schreiben:

[math] b^{\frac{m}{n}} = \left(\sqrt[n]{b} \right)^m [/math]

Negative Exponenten

Ein Weg der logischen Herleitung des Sonderfalls [math]n = 0 [/math] ist:

[math]\lim_{n\rightarrow \infty}{b^\frac{1}{n}} =\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{b} = 1 [/math]

Darüber hinaus sind negative Exponenten wieder durch Erweitern zu eruieren:

[math]a=b^{-n} \quad \Leftrightarrow \quad a \cdot b^n = b^{-n} \cdot b^n = b^0 = 1 \quad \Leftrightarrow \quad b^{-n} = \dfrac{1}{b^n} [/math]