Eigenfrequenz

S. Burghardt (12.2017) MINTwiki.de/Eigenfrequenz (In Bearbeitung)

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Die Eigenfrequenz (engl. natural frequency) ist eine zentrale Eigenschaft eines schwingungsfähigen Systems, das bei einer einmaligen Anregung mit genau dieser Frequenz freie Schwingungen ausführt. Eine alternative Angabe ist die Eigenkreisfrequenz:

[math] f_0=\dfrac{\omega_0}{2 \pi} [/math]

Wird ein schwingungsfähiges System mit einer Eigenfrequenz angeregt, so spricht man von einer Resonanz. Diese wird auch bei einer Breitbandanregung sichtbar, da hier abhängig von der Dämpfung i.d.R. ein lokales Amplitudenmaximum erreicht wird. Diese Eigenschaft hat eine erhebliche technische Bedeutung für viele Systeme.

Berechnung von Eigenfrequenzen

Die mathematische Beschreibung schwingungsfähiger Systeme führt zu einem System von homogenen Differentialgleichungen 2.Ordnung in der Form:

[math]\mathbf{A} \, \ddot{\mathbf{x}}(t) + \mathbf{B} \, \dot{\mathbf{x}}(t) + \mathbf{C} \, \mathbf{x}(t) = \mathbf{e}(t) [/math]

Hier sind [math]\mathbf{A} [/math], [math]\mathbf{B} [/math] und, [math]\mathbf{C} [/math] die Systemmatrizen, [math]\mathbf{x}(t) [/math] die Ausgangsgröße und [math]\mathbf{e}(t)[/math] die Anregung. Für die Eigenfrequenzen ist nur die linke Seite der Gleichung, also die homogene Lösung, interessant. Man löst also:

[math] \ddot{\mathbf{x}}(t) + \mathbf{A}^{-1} \mathbf{B} \, \dot{\mathbf{x}}(t) + \mathbf{A}^{-1}\mathbf{C} \, \mathbf{x}(t) = 0 [/math]

Einmassenschwinger	[math] m \ddot{y} + c y =0[/math]	[math] \omega_0=\sqrt{\dfrac{c}{m}}[/math]
RC-Schwingkreis