Eulersche Formel: Unterschied zwischen den Versionen
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− | | <math>e</math> | + | | <math>e := \sum\limits_{k=0}^\infty \, \dfrac{1}{k!}</math> |
| [[Eulersche Zahl]] | | [[Eulersche Zahl]] | ||
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| <math>\text{i}</math> | | <math>\text{i}</math> | ||
| Imaginäre Einheit | | Imaginäre Einheit | ||
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+ | | <math> \dfrac{d}{dt} e^{a t} = a \, e^{a t} </math> | ||
+ | | Kettenregel | ||
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+ | | <math> e^0 = 1 </math> | ||
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+ | Die <u>Eulersche Formel</u> (engl. Euler's Formula, nach Leonard Euler) zeigt einen Zusammenhang zwischen der komplexen Exponentialfunktion und den trigonometischen Funktionen: | ||
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+ | e^{\text{i}\varphi} = \cos(\varphi) + \text{i} \sin{\varphi} \quad \text{für} \quad \varphi \in \mathbb{R} | ||
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− | Die | + | == Herleitung == |
+ | Die Beziehung lässt sich durch die Taylor-Approximation der trigonometrischen Funktionen finden. Diese sind: | ||
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+ | \cos(t) \approx 1 - \dfrac{t^2}{2!} + \dfrac{t^4}{4!} - \dfrac{t^6}{6!} + \dfrac{t^8}{8!} \quad .... \\ | ||
+ | \sin(t) \approx t - \dfrac{t^3}{3!} + \dfrac{t^5}{5!} - \dfrac{t^7}{7!} + \dfrac{t^9}{9!} \quad .... | ||
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+ | Folglich kann man die komplexe Funktion schreiben: | ||
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− | + | \cos(t) + \text{i} \sin(t) \approx 1 + t - \dfrac{t^2}{2!} - \dfrac{t^3}{3!} + \dfrac{t^4}{4!} + \dfrac{t^5}{5!} - \dfrac{t^6}{6!} | |
+ | - \dfrac{t^7}{7!} + \dfrac{t^8}{8!} + \dfrac{t^9}{9!} \quad .... | ||
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+ | Schließlich wird man feststellen, dass diese Approximation exakt der komplexen e-Funktion entspricht. |
Aktuelle Version vom 10. April 2020, 20:04 Uhr
Eulersche Zahl | |
Imaginäre Einheit | |
Kettenregel | |
Die Eulersche Formel (engl. Euler's Formula, nach Leonard Euler) zeigt einen Zusammenhang zwischen der komplexen Exponentialfunktion und den trigonometischen Funktionen:
Herleitung
Die Beziehung lässt sich durch die Taylor-Approximation der trigonometrischen Funktionen finden. Diese sind:
Folglich kann man die komplexe Funktion schreiben:
Schließlich wird man feststellen, dass diese Approximation exakt der komplexen e-Funktion entspricht.